Box-Dimension

Bestimmung der fraktalen Dimension

Bestimmung der fraktalen Dimension

Die Definition einer Fraktalen Dimension ist an sich einfach. Wie aber bestimmt man diese Dimension? Für Fraktale wie die Kochkurve oder die Hilbertkurve, welche nach einem einfachen, übersichtlichen Iterationsverfahren erzeugt werden, ist dies problemlos. Wie macht man es aber für natürliche Phänomene, wie die Struktur eines Baumes oder einer Küstenlinie?

Messung der fraktalen Dimension

Mandelbrot hatte eine sehr einfache und sehr praktische Idee zur Lösung dieses Problems. Er bemerkte, dass die Länge einer Landesgrenze von der Art sie zu bestimmen abhängt. Man legt einen Raster über die Karte und zählt die Rasterfelder mit einem Grenzstück darin.

Küstenlinie von Norwegen

Je kleiner der Raster gewählt wurde, desto länger ist die Grenze. Der Zusammenhang zwischen Rastergrösse und Anzahl Felder, in welchen ein Stück der Grenzlinie zu finden ist, ist ein Potenzgesetz .

Dieses Potenzgesetz widerspiegelt die fraktale Dimension dieser Kurve.

Wir brauchen somit nur die Beziehung zwischen Rastergrösse und Anzahl Feldern zu bestimmen. In der Praxis bedeutet dies, ein Bild des zu untersuchenden Objektes mit Rastern verschiedener Grössen zu überdecken und die Felder zu zählen, in welchen das Objekt zu sehen ist.

Mit ein wenig Statistik (Methode der kleinsten Quadrate) kann man nun die Potenzfunktion bestimmen, welche die Beziehung am Besten wiedergibt. Dies kann man mit einem vorgefertigten Excel-Dokument machen. Es bestimmt die Potenzfunktion und auch das Bestimmtheitsmass für diese Kurve.

Der Betrag des Exponenten der Potenzfunktion entspricht der fraktalen Dimension dieses Objektes.

Das Bestimmtheitsmass gibt wieder, wie gut die Potenzfunktion zu den gemessenen Daten passt. Ist das Bestimmtheitsmass genau 1, so liegt eine mathematische Funktion vor. Ist das Bestimmtheitsmass aber 0, so gibt es keinen erkennbaren Zusammenhang zwischen diesen Grössen. Lesen Sie hier einige Fakten zum Bestimmtheitsmass nach.

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