Mathematische Monster
Wo liegt das Problem? Anfangs des 20. Jahrhunderts entdeckten einige Mathematiker Kurven, welche sich sehr seltsam verhalten. Das Bild oben zeigt die Kurve welche nach David Hilbert benannt ist. Man erzeugt diese Kurve mit Hilfe eines Iterationsprozesses.
Diese Kurve (1 dimensional) geht durch jeden Punkt des Quadrates (2 dimensional)! Dieses verblüffende Resultat war der Anlass, die Definition der Dimension neu zu überdenken.
Die neue Definition der Dimension geht von der Überlegung aus, was mit einem Objekt passiert, wenn man es vergrössert. Verlängert man alle Seiten / Längen eines Objektes um den gleichen Faktor, so nimmt die Fläche um das Quadrat dieses Faktors zu. Bei einem Körper im Raum nimmt das Volumen um die dritte Potenz dieses Faktors zu.
Als fraktale Dimension definiert man nun den Exponenten, welcher bei der Streckung um einen Faktor entsteht. Dieser Exponent ist für selbstähnliche Objekte nicht mehr nur ganzzahlig.
Die fraktale Dimension bestimmt man mit Hilfe der Boxdimension.
