Funktionsanpassung

Wie wird eine passende Funktion gefunden?

Themen

Sie werden immer wieder zu verschiedenen Daten eine Funktion bestimmen müssen. Im Normalfall haben sie aber mehr Daten als sie für die Funktion benötigen.

Fehler sind somit nicht zu vermeiden. Man kann aber versuchen die Fehler klein zu halten.

Regressionsrechnung

Diese Seite bahandelt das Finden einer passenden Funktion zu einer Datenmange bestehend aus Datenpaaren. Das Ziel ist es eine Funktion zu finden, welche aus dem ersten Teil eines Datenpaares den zweiten Teil berechen kann.

Wie dies genau berechnet wird ist für lineare Funktionen leicht zu verstehen. Wir wollen hier die Fülle der Regressionsrechnung nicht ausbreiten. Wir wollen nur die konzeptionelle Idee und das Mass für die Güte der Funktion angeben.

Konzeptionelle Idee

Wir suchen eine Funktion die zu allen Daten passt. Dies ist uns in der Regel nicht exakt möglich, da wir zu viele Datensätze haben werden. Wir kommen um einen Fehler nicht herum, also versuchen wir die Fehler so klein wie möglich zu halten.

Unsere Funktion f(x) wird bei einigen Datenpaaren (x_i / y_i) nicht exakt funktionieren.

funktion

Der berechnete y-Wert wird von den Daten abweichen.

Die Differenz dieser beiden Werte ist der gemachte Fehler. Nun interessiert uns nicht nur ein einzelner Fehler, sondern die Summe aller Fehler.

Versucht man die einfache Summe aller Fehler zu minimieren, so erlebt man eine Überraschung. Das Ergebnis ist häufig nicht eindeutig. Der Grund dafür ist, dass sich einige Fehler gegenseitig aufheben. Um dies zu verhindern versucht man die Summe der Fehlerquadrate zu minimieren (Methode der kleinsten Quadrate).

Die Güte der Funktion

Damit man die Qualität der gefunden Funktion erfassen und vergleichen kann, hat man den Korrelationskoeffizienten bzw. das Bestimmtheitsmass entwickelt. Haben die beiden Werte in einem Datensatz nicht gemeinsam, so ist dieser Wert nahe bei Null. Liegt ein exakter mathematischer Zusammenhang zwischen x und y vor, so ist das Bestimmtheitsmass exakt 1. In Ihren Experimenten werden Sie Werte zwischen 0 und 1 bekommen.

Je näher das Bestimmtheitsmass bei 1 liegt, desto genauer lässt sich der Zusammenhang zwischen den x und y-Werten der Datenpaare mit einer Funktion beschreiben.

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