Das Lindenmayer-System

L-Systeme

Themen

Noam Chomsky untersuchte in den 60er Jahren Systeme von Regeln (Sprachen) welche Zeichenketten durch Ersetzung von Zeichen erzeugen.

Die hier beschriebenen Systeme sind Beispiele solcher Sprachen. Aristid Lindenmayer entdeckte und entwickelte das nach Ihm benannte L-System. Dies wollen wir hier genauer untersuchen.

Pflanzenwachstum

Aristid Lindenmayer erweiterte die Sprachsysteme von Chomsky indem er diese geometrisch interpretierte. Schauen wir uns ein solches L-System einmal genauer an:

Zeichen

geometrische Interpretation

F Strecke der Länge 1
f Bewegung (ohne Zeichnung)
[ Beginn eines neuen Astes
] Ende eines Astes
+ Drehung nach rechts um den Winkel Theta
- Drehung nach links um den Winkel Theta
X Strecke der Länge 1 (andere Ersetzungsregel)

Ausgegangen wird von einer Zeichenkette, welche wir uns vorgeben wollen. Wir nennen diese im folgenden Axiom.

Nun brauchen wir noch eine Ersetzungsregel. Jedes Zeichen F wird durch eine neue Zeichenkette ersetzt. Im Gegensatz zu den Sprachen von Chomsky werden hier alle vorkommenden F gleichzeitig ersetzt.

Die Graphik wird gebildet durch Abarbeiten der Zeichenkette nach der oben angegebenen Interpretation. Bildlich stellt man sich eine Schildkröte vor, welche für jedes F einen Streich der Länge 1 zeichnet und sich entsprechend dreht und weiter läuft, (Turtlegraphik).

Wählt man das Axiom und auch die Ersetzungsregel für F respektive X geschickt, entstehen Graphiken, welche Bäumen und Stäuchern sehr ähnlich sind.

In der unten stehenden Tabelle sind die benutzten Winkel nicht angegeben.

 

L-System

Graphik

Axiom:

F

Ersetzungsregel:

F → FF +[+F −F −F −F]−[−F +F +F]
 

Axiom:

X

Ersetzungsregeln:

F → FF
X → F-[X]+X+F[+FX]-X

Axiom:

X

Ersetzungsregeln:

F → FF
X → F[+X][-X]FX

Axiom:

X

Ersetzungsregeln:

F → FF
X → F[+X]F[-X]+X

Um herauszufinden, was ein L-System vor der Berechnung macht, kann man die "Berechnung" in einem einfachen Texteditor überprüfen. Man öffnet ein leeres Dokument und tippt das Axiom ein.

Nun wird mit Hilfe von "Suchen / Ersetzen" eine der Ersetzungsregeln angewendet. Gibt es mehrere Ersetzungsregeln, so sollten diese abwechselnd eingesetzt werden.

Nur das Axiom muss ins Textfenster eingegeben werden.

Nach dem ersten Ersetzen

Nach dem vierten Ersetzen

Nun hat man den Zeichenstring, welchen man nur noch graphisch darstellen muss. Fertig ist ein Baum! Für Neugierige ohne Geduld.

Aufträge:

Laden Sie das Programm Fraktale Strukturen herunter. Im Unterprogramm L-Systeme können Sie mit den Regeln für L-Systeme experimentieren.

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