Strukturen in der Biologie

Das Euler-Cauchy Verfahren

Themen

Das Verfahren von Euler und Cauchy liefert uns einen relativ einfachen Weg, eine Differentialgleichung näherungsweise zu lösen.

Wir leiten im Folgenden eine einfache Näherungsformel her, um die Lösung einer Differentialgleichung zu bestimmen.

In der Herleitung wird davon ausgegangen, dass wir einen Startwert haben:

x(t0) = x0

Schrittweise in die Zukunft

WIr gehen von der folgenden Differentialgleichung aus:

dabei steht auf der rechten Seite der Gleichung eine "beliebige" Formel in x und t. Diese Gleichung ist in der Regel -je nach f(x) - gar nicht exakt lösbar.

Sie ist zwar nicht exakt lösbar, aber eine Näherung können wir bestimmen. Der Trick ist einfach. Wir benutzen anstelle der Ableitung der Funktion den Differenzenquotienten:

Dieser Differenzenquotient ist für kleine Werte von eine gute Näherung für die Ableitung. Wir formen nun um:

Auf der rechten Seite stehen nun alles Werte, welche zum Zeitpunkt t (Gegenwart) gelten. Diese können wir ausrechnen. Auf der linken Seiten steht der zeitlich spätere Zeitpunkt (Zukunft). Wir können mit dieser Gleichung, welche auf Euler und Cauchy zurückgeht, die Zukunft aus der Gegenwart berechnen.

Leider befinden wir uns nach dem ersten Schritt schon auf glattem Eis, weil wir die Kurve durch eine Tangente genähert haben. Je nachdem wie "nett" die Funktion f(x(t),t) ist, sind wir mit unseren Näherungen in der Nähe der tatsächlichen Lösung.

über uns | Site Map | Contact Us | ©2007 Gregor Lüdi / Martin Lüscher