Logistisches Wachstum (Verhulst Modell)

Das Verhulstmodell

Pierre-François Verhulst entwickelte die Theorie des logistischen Wachstums zu Beginn des 19. Jahrunderts. Sein kontinuierliches Modell weicht von unserem iterativen Modell ab.

Unser Modell unten zeigt einige Überraschungen auf, für hohe Parameterwerte. Diese Überraschungen treten in einem kontinuierlichen Modell nicht auf, da sich die logistische Funktion viel zu brav verhält.

Beispiele aus der Biologie

Ein exponentielles Wachstum ist nicht auf unbeschränkt lange Zeit aufrecht zu erhalten. Irgend wann erreicht nämlich die Population eine Grösse, bei der nicht mehr gewährleistet ist, dass das Einzelindividuum genügend Nahrung bekommt. Oder aber es hat schlicht nicht mehr genügend Platz für alle Lebewesen. Man spricht allgemein von Ressourcen, die knapp werden.
Diese Einschränkungen führen dazu, dass die Geburtenrate sinkt, die Sterberate steigt und sich dadurch die Population meistens auf einen bestimmten Wert einpendelt und relativ konstant bleibt. Dies nennt man logistisches Wachstum.

Die Kurve der logistischen Wachstumsgleichung gleicht demnach zu Beginn der des exponentiellen Wachstums, flacht aber dann als Folge der beschränkten Ressourcen ab. Sie gleicht dem Buchstaben «S», griechisch Sigma und wird deshalb auch «sigmoide Kurve» genannt.

Auftrag:

Mathematische Modellierung

Das Populationsmodell von Verhulst versucht die Vorteile von exponentiellem Wachstum und gebremstem Wachstum zu verschmelzen. Die Idee dahinter ist, dass das Wachstums abhängig vom aktuellen Bestand ist: (exponentielles Wachstum)

Im gebremsten Wachstum ist der Zuwachs proportional zum noch vorhandenen Raum / vorhandenen Nahrung bis zur Kapazitätsgrenze K.

Das logistische Wachstum verbindet nun die beiden Ansätze zu einem. Der Zuwachs ist für kleine y_n proportional zum Bestand und nahe bei der Kapazitätsgrenze dominiert die Proportionalität zur Differenz von Kapazitätsgrenze und Bestand.

Diese Formel kann man durch Normierung (K=1) und einer Uminterpretation des Parameters in die folgende Form bringen:

Simulation

In den untenstehenden Formularfeldern können Sie die Grösse der Anfangspopulation und den Entwicklungsparameter für eine exponentielle Entwicklung eingeben.

Die Populationsgrösse wird als Wert zwischen 0 und 100 angegeben. In der Tabelle werden die quantitativen Werte ausgegeben. Im Feld Parameter gibt man die Zuwachsrate in Prozent an. Eine Zuwachsrate von 2 entspricht einer Populationszunahme von 200% von einer Generation zur nächsten.

Aufträge:

Machen Sie eine Liste der Parameterwerte, für welche sich das Verhalten der Iterationen strukturell verändert.

Modellparameter eingeben

Startwert:  
Parameter:

Populationsentwicklung

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