Der Weg ins Chaos

Vorhersagbar chaotisch

Themen

Das System des logistischen Wachstums (Verhulstmodell) ist ein einfaches Beispiel für ein dynamisches System, welches von einem harmlosen Verhalten in ein chaotisches Verhalten umschlägt. Dieser Wechsel geschieht nicht ganz plötzlich, sondern verläuft in mehreren Schritten.

Im folgenden Betrachten wir das Verhalten des logistischen Wachstums. Wir beginnen bei kleinen Parameterwerten 0 < r < 1 und lassen r langsam ansteigen bis wir bei r = 4 ankommen.

Nullfolge

Zu Beginn, das heisst bei kleinen Parameterwerten, strebt die Population gegen Null.

Gleichgewichtspunkt

Das System strebt gegen einen Gleichgewichtspunkt und verändert sich nach einer Weile nicht mehr. Der angestrebte Wert entspricht einem Fixpunkt der Abbildungsfunktion.

Oszillierendes Verhalten

Das System pendelt sich nun auf die Gleichgewichtslage ein.

Periodisches Verhalten

Für einige Parameterwerte springen die Populationswerte zwischen zwei Werten hin und her. Erhöht man den Parameterwert langsam, so springt das System zwischen vier Werten hin und her, danach sind es 8 Werte, dann 16 usw.

Chaos

Ab einem systemabhängigen Parameterwert beginnt das System chaotisch zwischen verschiedenen, scheinbar unabhängigen, Werten hin und herzupendeln. Es ist kein periodisches Verhalten mehr sichtbar. Die kleinste Änderung der Anfangswerte hat nun einen signifikanten Einfluss auf das zeitliche Verhalten des Systems.

Ob ein System chaotisch wird oder nicht, wird mit dem Lyapunov-Exponenten bestimmt. Dieser misst, ob sich zwei benachbarte Populationswerte voneinander entfernen oder nicht. Ist dieser Exponent positiv, so ist das System chaotisch. Bleibt der Exponent negativ, so bleibt das System "normal".

Aufträge:

Im Programm Populationen können Sie mit dem Unterprogramm Logistisches Wachstum den Weg ins Chaos experimentell nachspielen.

Sie füllen die Zahlenwerte in die Lücken ein, so dass die entsprechende Aussage zutrifft. Versuchen Sie die Aussagen in ihre natürliche Reihenfolge zu bringen (von r = 0 starten). Begriffe welche ihnen nicht klar sind, müssen Sie nachschlagen.

  • Bei r annähernd ________ beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
  • Mit r von _______ bis _______ stirbt die Population in jedem Fall.
  • Mit r zwischen _______ und _______ nähert sich die Population ihrem Grenzwert wellenförmig, d.h die Werte liegen nach einigen Iterationen abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
  • Wird r grösser als _______, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein.
  • Für r grösser ________ divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall [0;1].
  • Mit r zwischen _______ und _______ wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten.
  • Die meisten Koeffizienten zwischen ________ und ________ führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind.
  • Mit r zwischen _______ und ungefähr _______ wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten.
  • Mit r zwischen _______ bis _______ stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt monoton.
  • Wechseln Sie ins Unterprogramm Cobweb. Damit kann man die Iteration graphisch darstellen. Auf der rechten Seite wird der Lyapunov-Exponent angezeigt. Welche Veränderungen macht das System, wenn der Lyapunovexponent die x-Achse berührt?
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