Der Eulersche Polyedersatz

Beweis des Eulerschen Polyedersatzes

Vorbereitung

Man kann diesen Satz natürlich an einem beliebigen Polyeder beweisen. Es ist aber handlicher den Satz mit ebenen Graphen zu führen. Mit Graph ist hier der überschneidungsfreie Schatten des Kantengitters eines Polyeders gemeint. Das folgende Bild illustriert den Übergang von Polyeder zu Graphen sehr schön.

Die Anzahl der Ecken E, der Kanten K und der Flächen F wird dabei nicht geändert (der Graph muss überschneidungsfrei sein!). Man muss nur berücksichtigen, dass das Äussere des Graphen ebenfalls zu den Flächen zählt.

Der Eulersche Polyedersatz gilt übrigens nicht nur für Polyeder und deren "Schatten", sondern für alle ebenen Graphen.

Beweis (Induktion über die Anzahl der Ecken)

Induktionsverankerung

Der Graph des einfachsten Polyeders, der dreiseitigen Pyramide, erfüllt den Eulerschen Polyedersatz.

Induktionsschritt

Gehen wir davon aus, dass wir ein Polyeder P vor uns haben, welches den Eulerschen Polyedersatz erfüllt. Der Graph des Polyeders P sei G.

Es gilt:

Nun erweitern wir den Polyeder indem wir über einer Fläche eine weitere Ecke einfügen. Im Polyeder würde dies bedeuten, dass wir auf eine Fläche eine Pyramide stellen, wobei die Grundfläche der Pyramide mit der ursprünglichen Polyederfläche übereinstimmt.

Im Graphen fügen wir einen Knoten hinzu. oBdA (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit), können wir den neuen Knotenpunkt ins innere des Graphen setzen.

  • ein Eckpunkt kommt hinzu
  • k Kanten müssen gezeichnet werden (Seitenkanten der Pyramide)
  • die Anzahl der Flächen nimmt um k-1 zu (Anzahl Seitenflächen einer Pyramide mit k Seitenkanten abzüglich der Grundfläche).

Es gilt somit für den erweiterten Graphen G':

Spezialfall

Es bleibt noch zu zeigen, dass der neue Eckpunkt auch auf einer bestehenden Kante gewählt werden kann. Vom ursprünglichen Graphen ausgehend, fügen wir einen Eckpunkt auf einer Kante hinzu. Im Graphen ist diese Kante gepunktet dargestellt.

Was geschieht mit den Ecken, Kanten und Flächen?

  • wie bisher (einen Eckpunkt dazu)

  • die bisherige Kante wird in zwei Teile geteilt(+1) und es werden k weitere Kanten hinzugefügt, um mit den bestehenden Ecken zu verbinden.

  • Jede neue Kante erzeugt eine neue Fläche.

Es gilt somit für den neuen Polyeder (Graphen):

Mit diesem letzten Argument ist gezeigt, dass der Eulersche Polyedersatz für alle Polyeder bewiesen ist, welche sich auf solche Weise konstruieren lassen.

Es ist eine schöne Aufgabe, sich zu überlegen, wie sich die Ecken, Kanten und Flächen ändert, wenn man neue Polygone oder Kanten anfügt. Es ist aber leicht gezeigt, dass sich hierbei nichts wesentlich neues ergibt.

Bemerkung

Es gibt durchaus Polyeder für welche der Eulersche Polyedersatz ein wenig anders aussieht. Durchbohrt man den Polyeder, verändert sich der Wert des Termes E-K+F.

schatten

Der Wert des Termes gibt an, wie viele "Löcher" der Polyeder hat. Man nennt dies in der Mathematik das "Geschlecht" des Körpers.

über uns | Site Map | Contact Us | ©2007 Gregor Lüdi / Martin Lüscher